Математика 11-класс. Олимпиада – А

1.Найдите значение дроби [math]\frac{-\left(a+c\right)+\left(b+d\right)}{f-e}=?[/math] если для положительных целых чисел a, b,
c, e, d и f верны равенства [math]\begin{cases} a – b = 4 \\ c – d = 2 \\ e – f = 3 \end{cases}[/math]

2.Выразите число [math]\left(2013^{2}\right)[/math] через A , если [math]A=\frac{2014}{2011}+\frac{2012}{2015}[/math]

3. Отношение радиуса переднего колеса трактора к заднему колесу равно 2:5. При прохождении [math]50\pi[/math] пути переднее колесо делает на 30 оборотов больше чем заднее. Вычислите радиус переднего колеса (в метрах).

4.Предприниматель положил некоторую сумму денег на свои счета в банках А, В и С. Сколько денег предприниматель должен положить в банк С под 6% , чтобы общий процент со всех вкладов составлял 5%, если известно что в банк А он положил 2000 манат под 7%, а в банк В – 5000 манат под 4%?

5.Вычислите: [math]\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+{\sqrt{8}}}+…+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{100}}[/math]

6. Из крана А вытекает вода с соленостью 18%, который наполняет пустой бассейн за 20 минут. Из крана В вытекает вода с соленостью 27%, который наполняет бассейн за 25 минут. Сколько процентов соли будет в воде, наполненной этими двумя кранами одновременно?

7.Два тела, расположенные на концах диаметра окружности с длиной 640 метров, одновременно начали движение вдоль окружности навстречу друг другу и через 10 минут встретились во второй раз. Скорость одного из тел равна 60 метров в минуту. Найдите скорость второго (в метрах в минуту).

8. – положительные числа, удовлетворяющие условию a+b+c=1 . Чему равно минимальное возможное значение P(a,b,c)=[math]\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)[/math]

9. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. На каком расстоянии от плоскости данного треугольника лежит точка, удалѐнная от каждой вершины треугольника на 13 см.

10.Какой цифрой оканчивается сумма [math]54^{35}+28^{21}[/math]

11.Найдите произведение xy из уравнения [math]2x^{2}+5y^{2}-4xy-2y-4x+5=0[/math]

12.Найдите область значений функции y=[math]\left(x^{2}-x-3\right)^{2}-2\left(x^{2}-x\right)+1[/math]

13.Числа А и В больше единицы. Чему равна разность B-A , если [math]A^{A-B}=B^{3}[/math] и [math]B^{B-A}=A^{-4}*B[/math]

14.При каком наименьшем натуральном значении k, число [math]2^{69}+k[/math] делится на 127 без
остатка?

15.Вычислите значение [math]tg\alpha[/math] если в квадрате DF=4*CF və [math]\angle CAF=\alpha[/math]

16. [math]x_{1}[/math] и [math]x_{2}[/math] являются корнями квадратного уравнения [math]3x^{2}-4x+a=0[/math] Определите самый широкий промежуток значений параметра , если [math]-2\lt x_{1}\lt 2\lt x_{2}[/math]

17. Найдите значение f (20) если при [math]\left( x\ge y \right)[/math] верно равенство f (x+y)=f (x)+f (y)+y

18. Имеется 3 мешка с шариками. Известно, что во втором мешке в два раза больше шариков чем в первом, а в третьем – в три раза больше чем в первом. Половина шариков в первом мешке, 1/3 во втором и 1/4 в третьем – зелѐного цвета. Все шарики в этих мешках собирают в один мешок. Из этого мешка случайным образом вынимают один шарик. Вероятность того, что шарик окажется зелѐным, равна [math]\frac{m}{n}[/math] где и взаимно простые числа. Найдите сумму m+n

19.Вычислите: [math]\frac{2cos40°-cos20°}{sin20°}[/math]

20.Две касающийся друг друга окружности с одинаковыми радиусами вписаны в трапецию ABCD. Найдите сумму длин боковых сторон трапеции если AB / / DC , BA=15, DC=10, r=3

21.Найдите длину отрезка BD , если в треугольнике ABC, AB=10 см, AD=5 см, [math]\angle ABC=70°[/math], [math]\angle BDC=110°[/math]

22.Дана трапеция ABСD. Найдите длину отрезка EF=x , если известно, что [DC]//[EF]//[AB].
|AB|=10см, |AE|=5см, |ED|=3см, |DC|=6см
EF=x

23. Даны прямоугольные треугольники ABC и DCA . Найдите длину стороны CD, если АС=15 см, AB=12 см [math]\angle CAD[/math]= [math]\angle DAB[/math]

24. На сторонах BC и AC треугольника ABC даны точки D и E соответственно. Найдите площадь треугольника DEC, если известно, что AB=AD=AE, DE=4 см, DC=6 см и  [math]\angle BAC=60°[/math]

25. 6 равных прямоугольников с высотой m и с шириной n были расставлены как на рисунке. Чему равно отношение [math]\frac{m}{n}=?[/math] если прямоугольном треугольнике CDE |DE|=2 |CD|

26.Какое значение имеет выражение [math]\sqrt{9}+\sqrt{16}[/math]

27.В геометрической прогрессии первый член равен 3, а второй — 6. Найдите третий член прогрессии.

28.Какое наибольшее значение может принимать угол между двумя векторами в пространстве?

29.Найдите площадь круга, если его радиус равен 7 см.

30.Чему равно значение выражения [math]\log_{2}32[/math]

31.Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см.

32.Найдите значение выражения (2x-1)=5 при x=3

33.Чему равен периметр квадрата, если его сторона равна 5 см?

34.Чему равна площадь треугольника с основанием 10 см и высотой 6 см?

35.В каком из следующих чисел нет четных цифр?

36.В треугольнике ABC угол C прямой, а длина катетов равна 6 см и 8 см. Найдите длину гипотенузы.

37.Чему равна сумма всех корней уравнения [math]x^{2}-7x+12=0[/math]

38.В прямоугольном треугольнике катетами являются 7 см и 24 см. Найдите площадь этого треугольника

39.Чему равна сумма углов в четырёхугольнике?

40.В треугольнике ABC угол A прямой, катет AB равен 6 см, а катет BC — 8 см. Найдите периметр треугольника.