Математика 10-класс. Олимпиада – А

1.A, a, b – положительные целые числа.Найдите наибольшее значение суммы b a , если [math]6*40!=A*2^{a}*3^{b}[/math]

2.В первой ѐмкости содержится 100 литров 25%-ого солевого раствора, а во второй 200 литров – 40%-ого. Сколько литров солевого раствора надо перелить из второй ѐмкости в первую, чтобы первый стал 30%-ным солевым раствором?

3.Найдите количество значений x , удовлетворяющих уравнению [math]\left( 5-x \right)^{4x^{2}-16}=1[/math]

4.Найдите разность x-y , если x и y являются корнями уравнения [math]4x^{2}+4xy+2y^{2}-4y+4=0[/math]

5.Найдите значение выражения [math]\frac{a^{3}}{10-3a}=?[/math] если [math]\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10}-\sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}=a[/math]

6.Как видно из рисунка резервуар образован из двух одинаковых частей. Если краны А и В открыть одновременно, то резервуар опорожнится за 6 часов. За сколько часов опорожнится резервуар, с закрытым краном А и открытым краном В?

7. Одну и ту же работу работники А и В вместе выполняют за 12 дней, работники А и С – за 18 дней, работники В и С за 20 дней. За сколько дней может выполнить данную работу самый медлительный работник?

8.Из крана А вытекает чистая вода, из В – солѐная на 10% и из крана С – солѐная на 15%. Кран А наполняет бассейн за 6 часов, В – за 10 и С – за 15. Найдите процент соли, содержащийся в воде бассейна, наполненной этими 3 кранами одновременно.

9. Грузовики, находившиеся в точках А и В, одновременно выехали навстречу друг другу со скоростью 50 км/ч. Через час после встречи данных грузовиков , другой грузовик выехал из точки С с той же скоростью в сторону точки В и встретился через 7 часов с грузовиком выехавшим из точки А. Через сколько часов встретились грузовики, выехавшие из точек А и В, зная что 5 | AB | = 2 | BC |

10.Поезд проезжает через тоннель со скоростью 120 км/ч за 6 секунд. Найдите длину поезда, если длина тоннеля больше длины поезда в 2 раза.

11.Определите значение (2) f , если при [math]f\left( x \right)+x*f\left( \frac{x}{2x-1} \right)=2 [/math] ([math] x\neq 1[/math], [math]x\neq \frac{1}{2}[/math]) f (2) 

12.Найдите последние две цифры числа [math]7^{2018}[/math]

13. Найдите длину основания равнобедренного треугольника площадь которого равна [math]25см^{2}[/math]cм , а угол а при основании таков, что 4 tgа

14. В прямоугольном треугольнике AD=BD, [math]\angle ADC=2\alpha[/math], AC=3, DC=4 Вычислите sin a

15.На диагонали AC квадрата ABCD дана точка M. Найдите длину отрезка MN если известно, что [math]ME\bot AD[/math], [math]MN\bot CD[/math], BC=12, ME = 3*MN

16.[math]\frac{1}{sin10°}-\frac{\sqrt{3}}{cos10°}=?[/math]

17.Найдите положительное значение выражения [math]a+1-\frac{1}{a}[/math] если [math]a+1+\frac{1}{a}=4[/math]

18.При скольких целых значениях x, дробь [math]\frac{5x+2}{x+10}[/math] будет целым числом? 

19.Найдите значение выражения [math]x^{2}-y^{2}[/math] если [math]2^{x+y}=m^{2}[/math] və [math]2^{x-y}=8[/math]

20.При делении многочлена P(x)  на трѐхчлен [math]x^{2}+2x-5[/math] частной является многочлен  (xQ) , а остаток будет  (x+1) Найдите остаток при делении многочлена Q(x) на двучлен (x-2) если известно, что P(2)=15

21.Определите множество решений системы [math]\begin{cases}\dfrac{ax-c}{a+b}<0\\[6pt]\dfrac{c}{ax-b}>0\end{cases}[/math] при a<b<0<c

22.В прямоугольнике ABC проведены медианы AD и BE . Найдите площадь треугольника ABC, если AD+BE=15 см, AB=[math]2\sqrt{13}[/math] və [math]AD\bot BE[/math]

23.На сторонах AD и CB квадрата ABCD даны точки E и F соответственно так, что CF=FB и четырѐхугольник AECF является параллелограммом. Точки L и M являются точками пересечений диагонали BD с отрезками AF и EC соответственно. Отрезки BE и AF пересекаются в точке K. Найдите отношение площади четырѐхугольника EKLM к площади квадрата ABCD

24.Прямая AB является общей касательной двух окружностей с радиусами [math]r_{1}[/math] и [math]r_{2}[/math]  EF=4 см, Вычислите сумму AB = 8см olarsa, [math]r_{1}+r_{2}=?[/math]

25. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD даны точки F и E соответственно. К – точка пересечения отрезков CE и DF . Найдите длину отрезка EK , если 4DE=3EA , AF=5BF, EC =19см

26.Какое из следующих чисел является корнем уравнения [math]x^{2}-4x+3=1[/math]

27.Решите неравенство: [math]2x+3\le 7[/math]

28.Какой из следующих углов является острым?

29. [math]3\left( X-2 \right)=12[/math]

30. Найдите значение выражения [math]4^{3}[/math]

31.Какой из углов равен 180∘?

32.Найдите значение выражения [math]\sqrt{81}[/math]

33.Чему равен логарифм числа 100 по основанию 10?

34.Найдите площадь круга с радиусом 3.

35.Чему равен периметр треугольника с длинами сторон 3, 4 и 5?

36.Какой из углов является углом между прямыми, которые пересекаются под углом 60∘

37.Какое из чисел является решением неравенства [math]3x-7\gt 2x+1[/math]

38.Найдите площадь треугольника с основаниями 8 и 10 и высотой 6.

39.Какое из следующих чисел является простым?

40.Сколько градусов в угле, образуемом двумя перпендикулярными прямыми?